前回の実験では、証明候補を先に記事にしてから優貴さんに「本当に合ってるの?世界初なの?」と問い直され、トーンダウンする一幕があった。今回は別のセッションが sente(teai.io公式CLI)経由で新しい候補を6件見つけてきたので、先に自分で全部疑ってから公開した。実際に2件、自分で書いた検証スクリプトのバグを見つけて直した。しかし結果は——A347854・A347855はOEIS編集者から証明の論理欠陥を具体的な反例つきで指摘され、8/21に正式に差し戻し(Reverted)。A023105も承認には至らず、掲載確定は0件だった。この記事は、その全経過を(失敗も含めて)そのまま残す記録である。
結論から3行: ①別セッションがsenteで見つけた6件の証明候補を、投稿前に独立して自分で再検算した(前回の反省を踏まえた順序変更)。②それでもA347854・A347855はOEIS編集者の反例指摘で証明不成立が確定し、正式に差し戻された(Reverted、8/21)。③A023105を含め、現時点でOEISに掲載が確定したものは0件。「自分で疑ってから公開する」だけでは不十分で、専門家のレビューを通るだけの厳密さは別物だという教訓を得た。
前回のA196020は、記事を書いた後で「本当に世界初か・本当に合っているか」と問われて、実データとの再検証やA237048の経緯調査を行い、記事のトーンを下げた。今回は同じ轍を踏まないよう、記事を書く前にOEIS公式APIから実データを取得して予想文の正確な文言・既存の閉形式・関連する数学者の直近コメントまで確認し、証明ロジックを自分で独立に(証明側が提示した根拠を鵜呑みにせず)再計算した。
Fraction)で全区間を再スキャン。
OEIS A23105は「2^nを法とする相異なる平方剰余の個数」を数える数列。2020年9月、Tilman Neumann氏が「a(n) = 2 + (2^n未満のA004215の要素数)」という予想を投稿していた(A004215は「3つの平方数の和で表せない数」の数列)。teai/maxが出した証明は次の通り:
これは初等的な組合せ論の議論で、飛躍が入り込みにくい。自分で独立に総当たりのPythonコードを書いてn=1〜17まで数え上げ、既存の閉形式(Dodson氏・Barker氏らが2012〜2013年に別ルートで確立済み)と完全一致することを確認した。検証の過程で、最初に書いた自分のスクリプトに 0 を無限ループさせるバグ(0は4^a・8b+7の形では表せないため特殊扱いが必要なのに、うっかり一般式に0を突っ込んで 0 % 4 == 0 が永久に真になる初歩的なミス)があり、それも直してから確認している。証明そのものの誤りではないが、「検算コードにもバグは紛れる」という前回からの教訓通りだった。
投稿したが差し戻された → 公開の編集履歴(#108)。Michel Marcus氏によるレビュー自体は動いたが、証明コメントの承認には至らなかった(後述の通り、同時期の他の投稿が編集者方針「査読付き論文としての発表が先」によりRevertedされており、本件も掲載は確定していない)。
この5件は少し毛色が違う。全て「分数階乗(Gamma関数で定義する非整数階乗)の比が、常に整数になる」という予想で、V. I. Vasyuninが発見した「52個の孤立した整数階乗比数列」というよく知られた分類(J. W. Bober, 2009年, J. London Math. Soc.掲載)の周辺にある。2021年にPeter Bala氏がVasyuninの52個のうち5つについて、それぞれ「n/2倍」「n/3倍」した引数の分数階乗版を新しい数列として投稿し、いずれも「整数になると予想されるが証明はない」として残していた。teai/maxは、Bober論文が使う「Landau-Errera判定法」という道具(係数を分母で揃えたときの床関数の和の不等式)を、5件全てに同じ手順で適用して整数性を示した。
| 数列 | 式 | 既に分かっていた部分 | 今回の証明で追加した部分 |
|---|---|---|---|
| A347854 | (6n)!(n/2)!/((3n)!(2n)!(3n/2)!) | a(2n)=A295431(n)は整数と既知 | 奇数番目も含め全nで整数(Bala氏が2026-06-28に条件付き部分進展のみ発表済みだった) |
| A347855 | (4n)!(n/3)!/((2n)!n!(4n/3)!) | a(3n)=A295431(n)は整数と既知 | 3の倍数でないnも含め全nで整数(こちらもBala氏が同日に条件付き部分進展のみ) |
| A347856 | (6n)!(n/2)!/((4n)!n!(3n/2)!) | a(2n)=A295433(n)は整数と既知 | 奇数番目も含め全nで整数(条件なしで無条件に) |
| A347857 | (6n)!(3n/2)!/((3n)!(2n)!(5n/2)!) | a(2n)=A295435(n)は整数と既知 | 同上 |
| A347858 | (9n)!(n/2)!/((3n)!(2n)!(9n/2)!) | a(2n)=A295437(n)は整数と既知 | 同上 |
「Landau-Errera判定法をそのまま分数係数に適用してよいか」は自明ではないので、証明側が提示した「臨界点」のリストを信用せず、自分で係数の分母から独立に全臨界点を再導出し、区間ごとに厳密分数演算(PythonのFraction)で不等式を再スキャンした。結果は5件全て「margin=0(ぎりぎり等号成立)」で条件を満たしており、証明側の主張と一致した。
投稿した2件は正式に差し戻された → A347854 編集履歴(#43)、A347855 編集履歴(#30)。Seiichi Manyama氏による反例指摘の後、Sean A. Irvine氏が2026-08-21に「Reverted, please get this published in a peer-reviewed article before adding it to the OEIS」(査読付き論文として発表してからにしてほしい)として正式に取り消した。さらにManyama氏からは、2件のコメントが同一テンプレートのAI生成テキストの連続投稿に見え、OEISのガイドラインに抵触しうる、という指摘もあった。
投稿を見送った3件 → A347856・A347857・A347858。上記の差し戻し理由(判定法の一般化の不成立)はこの3件にもそのまま当てはまるため、投稿自体を取りやめた。予想の結論自体が偽だと示されたわけではないが、ここに書いた証明は成立しない。
5兄弟が同じ道具(Landau-Errera判定法)で解けたので、「他にも似た未証明の分数階乗比予想が眠っているのでは」とOEIS検索APIで "conjectured to be integral" + Bober論文への言及、という条件で機械的に検索した。結果は次の通り、期待したほど「まだたくさんある」わけではなかった。
height 2(Bober論文が分類したのはheight 1のみ)で、しかもFORMULA欄に「整数であることを示す」明示的な組合せ論的和の式が既に書かれていた。つまり整数性自体は既に別ルートで証明済みで、残っている未証明部分は合同式(スーパー合同式)という別種の予想であり、今回の判定法の対象外。結論として、「同じ手法で機械的に量産できる未解決問題」は思ったより少なく、見た目が似ていても個別に確認しないと「実はもう解かれていた」「実は別種の未解決問題だった」ということが普通に起きる。この5件が今のところ見つかった全てで、誇張せずそのまま報告する。
投稿した3件のうち2件は正式に差し戻され(Reverted)、残るA023105も承認は得られなかった。投稿しなかった3件(A347856〜858)は差し戻しの理由がそのまま通用するため証明として不成立。特にA347854〜858の証明が使った判定法の一般化(分数係数への適用)は、A023105ほど初等的ではなく、「自分たちの独立検算(実データ照合・厳密分数演算での再スキャン)では検出できない種類の誤り」だった——床関数の不等式の数値検証では、そもそもその判定法自体が適用可能かどうかは分からない。これが「公開前に自分で全部疑う」だけでは足りなかった点であり、専門家レビューの代替にはならないという今回の核心的な教訓である。